Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#003366" TEXT="#F7F7FF"> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFFF" FACE="Bell MT" ><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales"><U><B>Ecuaciones diferenciales</B></U></A><B>  | </B></FONT><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales"><U><B>Home</B></U></A><B> | </B><A HREF="id118.htm" TARGET="_top" TITLE="C o n t e n i d o"><U><B>Contenido</B></U></A><B> | </B><A HREF="id223.htm" TARGET="_top" TITLE="Apuntes"><U><B>Apuntes</B></U></A></div> <div> <A HREF="id226.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción a las ecuaciones diferencia"><U>Introducción a las ecuaciones diferenciales</U></A>   |   <A HREF="id227.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones separables"><U>Ecuaciones separables</U></A>   |   <A HREF="id225.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U>Ecuaciones lineales de primer orden</U></A>   |   <A HREF="id228.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones de Bernoulli"><U>Ecuaciones de Bernoulli</U></A>   |   <A HREF="id273.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones de Riccati"><U>Ecuaciones de Riccati</U></A>   |   <A HREF="id229.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones exactas"><U>Ecuaciones exactas</U></A>   |   <A HREF="id230.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones homogéneas"><U>Ecuaciones homogéneas</U></A>   |   <B>Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden</B>   |   <A HREF="id270.htm" TARGET="_top" TITLE="Transformada de Laplace"><U>Transformada de Laplace</U></A></div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=165 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> 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diferencial de segundo orden</U></A></div> <div> <A HREF="#problema_con_valores_iniciales_de" TITLE="Introducción a las ecuaciones diferencia"><U>Problema con valores iniciales de segundo orden</U></A></div> <div> <A HREF="#ecuaciones_diferenciales_lineales_de" TITLE="Introducción a las ecuaciones diferencia"><U>Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden</U></A></div> <div> <A HREF="#teorema_de_existencia_y_unicidad" TITLE="Introducción a las ecuaciones diferencia"><U>Teorema de existencia unicidad</U></A></div> <div> <A HREF="#problema_con_valores_en_la_frontera_de" TITLE="Introducción a las ecuaciones diferencia"><U>Problema con valores en la frontera de una ecuación diferencial lineal de segundo orden</U></A></div> <div> <A HREF="#ejercicios_resueltos_sobre_introducción" TITLE="Introducción a las ecuaciones diferencia"><U>Ejercicios resueltos sobre introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden</U></A></div> <div>  <A NAME="mapa_mental"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Bell MT" >mapa mental</FONT></div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" ><B>Mapa mental:</B></FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <iframe width='100%' height='600px' scrolling='no' src='https://www.examtime.com//p/523156-Ecuaciones-diferenciales-lineales-de-segundo-orden-mind_maps?frame=true' style='border: 1px solid #ccc' allowfullscreen webkitallowfullscreen mozallowfullscreen oallowfullscreen msallowfullscreen></iframe><a href='https://www.examtime.com//profiles/245377'>por Calculo21</a>  </div> <bR> <div>  <A NAME="definición_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Definición: <FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFFF" FACE="Bell MT" >efinición</FONT></div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" ><B>Definición: </B></FONT></div> <div> Una <I><B>ecuación diferencial ordinaria de segundo orden</B></I> es del tipo:</div> <div> <B><IMG SRC="defbf310.gif" border=0 width="191" height="49" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> aquí <I>f</I>  es una función dada en términos de la variable independiente <I>x</I>, la función <I><B>y</B></I> y la primera derivada de <I><B>y</B></I> respecto a <I>x</I>.</div> <div> <B>U</B>n ejemplo de ecuación diferencial de segundo orden muy conocida es la que modela la <B>segunda ley de movimiento de Newton</B>, la cual rige el movimiento de una partícula bajo la influencia de una fuerza.  En esta ecuación, <I>m</I> es la masa de la partícula,  <I>y </I> su posición en el tiempo <I>t</I>, <I>dy/dt</I>  su velocidad , y <I>F</I> es la fuerza total que actúa sobre la partícula:</div> <div> <IMG SRC="df0c9310.gif" border=0 width="201" height="49" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (En las ciencica físicas se acostumbra usar la letra <I>t</I> en vez de la <I>x</I> para la variable independiente, generalmente la <I>t</I> se refiere al tiempo).</div> <bR> <div>  <A NAME="soluciones_de_una_ecuación_diferencial"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" ><B>Soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden: </B></FONT></div> <div> <B>U</B>na función <I>y(x)</I> es una solución (aunque no sea la solución general) de la ecuación diferencial (<FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman" >1</FONT>) si al sustituir <I>y</I>, <I>y</I>' y <I>y</I>'' se obtiene una identidad.</div> <div> <B>Ejemplo ilustrativo 1:</B></div> <div> <IMG SRC="df193c30.gif" border=0 width="659" height="195" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" >La obtención de la identidad anterior demuestra que </FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >(</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman" >3</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >)</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" > es una solución de la ecuación diferencial </FONT>(<FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Georgia" >4</FONT>); <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" >aunque la solución general de la ED</FONT> (<FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Georgia" >4</FONT>) <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Bell MT" >es (más adelante se concluirá en analizar esto de forma detallada):</FONT></div> <div> <IMG SRC="df243ad0.gif" border=0 width="835" height="173" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> La función <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >(</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Georgia" >3</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >)</FONT> es una <I><B>solución particular</B></I>  que satisface  la ED <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >(</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Georgia" >4</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >)</FONT> y dos condiciones iniciales previamente establecidas.</div> <bR> <div>  <A NAME="problema_con_valores_iniciales_de"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Problema con valores iniciales de segundo orden</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" ><B>Problema con valores iniciales de segundo orden: </B></FONT></div> <div> Un problema con valores iniciales de segundo orden precisa de una ecuación diferencial de segundo orden y de dos condiciones iniciales que prescriben, por ejemplo, un punto particular por el que debe pasar la gráfica de la función solución así como la pendiente de la gráfica en ese punto.</div> <div> <IMG SRC="df37ca40.gif" border=0 width="892" height="164" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B>Ejemplo ilustrativo 2:</B></div> <div> <B><IMG SRC="df4ad6f0.gif" border=0 width="941" height="367" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div>  <A NAME="ecuaciones_diferenciales_lineales_de"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" ><B>Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden:</B></FONT></div> <div> Una ecuación diferencial lineal de segundo orden en su forma general está dada por:</div> <div> <IMG SRC="df6bb170.gif" border=0 width="187" height="23" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Obsérvese que los coeficientes de <I>y</I>' e <I>y</I>, asi como el miembro de la derecha son funciones en la variable independiente <I>x</I> solamente. Además, la función <I>y</I> , su primera y segunda derivada son de primer grado y no son argumentos de ninguna otra función.</div> <bR> <div>  <A NAME="teorema_de_existencia_y_unicidad"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Teorema de existencia y unicidad</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" ><B>Teorema de existencia y unicidad:</B></FONT></div> <div> <B><IMG SRC="df8974c0.gif" border=0 width="919" height="76" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div>  <A NAME="problema_con_valores_en_la_frontera_de"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Problema con valores en la frontera de segundo orden:</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" ><B>Problema con valores en la frontera de una ecuación diferencial lineal de segundo orden: </B></FONT></div> <div> Resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden en la que la variable dependiente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos es un  <I><B>problema con valores en la frontera</B></I>.</div> <div> <IMG SRC="df543dc0.gif" border=0 width="323" height="220" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="ejercicios_resueltos_sobre_introducción"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Ejercicios resueltos sobre introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Bell MT" ><B>Ejercicios resueltos sobre introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden:</B></FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <A HREF="id153.htm" TARGET="_top" TITLE="4.1.1"><U>Dennis G. Zill (Ed. 6). Ejercicio 4.1.1</U></A></div> <div> <A HREF="id126.htm" TARGET="_top" TITLE="3.14"><U>G. F. Simmons. Problemas 3.14 (página 89)</U></A></div> <div> <A HREF="id138.htm" TARGET="_top" TITLE="3.1"><U>Boyce y DiPrima 3.1</U></A></div> <bR> <div>  <script async src="https://pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:970px;height:250px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="8553279920"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <bR> </td> <td valign="top" rowspan="2" width=105 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <A HREF="https://www.youtube.com/user/MatematicaAplicadas" TARGET="_top" TITLE="https://www.youtube.com/user/MatematicaA"><U><IMG SRC="154c64580.gif" border=0 width="100" height="600" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" height=24 BGCOLOR="#003366" TEXT="#F7F7FF"> <div> <B> <form action="http://www.google.com.co" id="cse-search-box" target="_blank"> <div> <input type="hidden" name="cx" value="partner-pub-6266400581769473:6497222116" /> <input type="hidden" name="ie" value="UTF-8" /> <input type="text" name="q" size="100" /> <input type="submit" name="sa" value="Buscar" /> </div> </form> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com.co/coop/cse/brand?form=cse-search-box&lang=es"></script>  </B></div> </td> </tr></table></body>