Ecuaciones lineales de primer orden

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#003366" TEXT="#F7F7FF"> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFFF" FACE="Bell MT" ><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales"><U><B>Ecuaciones diferenciales</B></U></A><B>  | </B></FONT><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales"><U><B>Home</B></U></A><B> | </B><A HREF="id118.htm" TARGET="_top" TITLE="C o n t e n i d o"><U><B>Contenido</B></U></A><B> | </B><A HREF="id223.htm" TARGET="_top" TITLE="Apuntes"><U><B>Apuntes</B></U></A></div> <div> <A HREF="id226.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción a las ecuaciones diferencia"><U>Introducción a las ecuaciones diferenciales</U></A>   |   <A HREF="id227.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones separables"><U>Ecuaciones separables</U></A>   |   <B>Ecuaciones lineales de primer orden</B>   |   <A HREF="id228.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones de Bernoulli"><U>Ecuaciones de Bernoulli</U></A>   |   <A HREF="id273.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones de Riccati"><U>Ecuaciones de Riccati</U></A>   |   <A HREF="id229.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones exactas"><U>Ecuaciones exactas</U></A>   |   <A HREF="id230.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones homogéneas"><U>Ecuaciones homogéneas</U></A>   |   <A HREF="id231.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción a las ecuaciones diferencia"><U>Introducción a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden</U></A>   |   <A HREF="id270.htm" TARGET="_top" TITLE="Transformada de Laplace"><U>Transformada de Laplace</U></A></div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> </td> <td valign="top" height=456 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B>Ecuaciones lineales de primer orden</B></div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:728px;height:90px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="5388515922"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > <A NAME="introducci_n"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></FONT>Introducción:</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Georgia" ><B>Introducción:</B></FONT></div> <bR> <div> <B>U</B>na ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en la forma estándar o canónica es:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="c69b7180.gif" border=0 width="183" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Si en (<FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Georgia" >1</FONT>)  <I>g</I>(<I>x</I>) = <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Cambria Math" >0 se dice entonces que la ecuación es <I>homogénea</I>; en caso contrario es <I>no homogénea</I>.</FONT></div> <div> Casi siempre es posible resolver analíticamente una ecuación diferencial lineal. Existen varios métodos analíticos ideados para resolver una ecuación lineal de primer orden.  El primero de ellos, que se denomina <FONT SIZE="4" COLOR="#993366" FACE="Georgia" ><A HREF="#factor_integrante" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U><I>método del </I></U></A></FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="0" CELLSPACING="1" WIDTH="342" BORDERCOLORLIGHT="#FFFFFF" BORDERCOLORDARK="#FFFFFF" FRAME="VOID" RULES="NONE" ALIGN="RIGHT" HSPACE="0" VSPACE="0" BGCOLOR=#FFFFFF > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 288 ><NOBR><div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:336px;height:280px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="7754199516"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#993366" FACE="Georgia" ><A HREF="#factor_integrante" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U><I>factor integrante</I></U></A></FONT>, utiliza el siguiente factor de integración:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="c6aaf240.gif" border=0 width="175" height="36" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Como se puede observar el factor de integración depende de la función coeficiente de <I>y</I> en (<FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Cambria Math" >1</FONT>), esto es, depende de <I>p</I>(<I>x</I>). </div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >Los otros dos métodos que vamos a estudiar aquí se llaman, respectivamente, </FONT><I>variación de la constante de Lagrange</I><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > y </FONT><I>a</I><I>lgoritmo de los coeficeintes indeterminados</I><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >.</FONT></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Cambria Math" >Una alternativa, al buscar la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden, es tomar  g(x)=0, obteniéndose de esta forma la ED homogénea asociada a la </FONT>(<FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Georgia" >1</FONT>).</div> <div>  <A NAME="factor_integrante"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Factor integrante</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Georgia" ><B>Factor integrante:</B></FONT> </div> <div> Es posible deducir un factor de integación adecuado, <I>u</I>(<I>x</I>), que facilite el hallazgo de la solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden. Veamos:</div> <div> <IMG SRC="c6ba8a70.gif" border=0 width="936" height="679" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="procedimiento"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Procedimiento</div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#990000" FACE="Georgia" ><B>Procedimiento:</B></FONT><B> </B></div> <div> Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se procede como sigue:</div> <div> <B>1.</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >  Se lleva la ecuación dada a la forma:</FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="c6c85180.gif" border=0 width="133" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#990000" FACE="Georgia" ><B>2.</B></FONT>  Se identifica el coeficiente de <I>y</I>, esto es, la función  <I>p</I>(<I>x</I>) y se determina el factor integrante dado por:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="c6d9c210.gif" border=0 width="156" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <B>3.</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >  Se multiplica la ecuación obtenida en el paso </FONT>1<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > por el factor de integración calculado en el paso </FONT>2<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >:</FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="c6ec4210.gif" border=0 width="452" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <B>4.</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >  Se observa que el miembro izquerdo de la ecuación tiene la forma expandida de la derivada de un producto; se escribe esta derivada en la forma no expandida:</FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="c71672f0.gif" border=0 width="871" height="47" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </div> <div> <B>5.</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >  Se integran ambos miembros de la ecuación obtenida en el paso </FONT>4<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >:</FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="c72d9210.gif" border=0 width="217" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">          </div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#990000" FACE="Georgia" ><B>6</B><B>.</B></FONT>  Se despeja la función <I>y</I>:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="c73b53c0.gif" border=0 width="181" height="60" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="ejemplo_ilustrativo_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E<FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" >jemplo ilustrativo 1</FONT></div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>Ejemplo ilustrativo 1:</B></FONT></div> <div> Resuelva la siguiente ecuación:</div> <div> <IMG SRC="c745ce70.gif" border=0 width="860" height="487" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="_ejercicios_resueltos_sobre_ecuaciones"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A> Ejercicios resueltos sobre ecuaciones lineales de primer ordenre e<B>cuaciones lineales de primer orden</B></div> <div> <B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#009900" FACE="Georgia" ><B>Ejercicios resueltos sobre ecuaciones lineales de primer orden:</B></FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <A HREF="id166.htm" TARGET="_top" TITLE="1.5"><U>Edwards y Penney. Ejercicio 1.5</U></A></div> <div> <A HREF="id185.htm" TARGET="_top" TITLE="2.3"><U>Dennis G. Zill. Ejercicio 2.3</U></A></div> <div> <A HREF="id179.htm" TARGET="_top" TITLE="2.3"><U>Nagle-Saff-Snider. Ejercicio 2.3 </U></A></div> <div> <A HREF="id133.htm" TARGET="_top" TITLE="2.2"><U>Boyce y DiPrima 2.2</U></A></div> <div> <B> <A NAME="probemas_de_aplicación_de_las"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Probemas de aplicación</B> <B>de las ecuaciones lineales de primer orden</B></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#006699" FACE="Georgia" ><B><IMG SRC="c8c0c0e0.jpg" border=0 width="12" height="14" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </B></FONT><B>Probemas de aplicación</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > </FONT><B>de las ecuaciones lineales de primer orden:</B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <A HREF="id136.htm" TARGET="_top" TITLE="2.5"><U>Boyce y DiPrima.  Ejercicio 2.5</U></A></div> <div> <A HREF="id157.htm" TARGET="_top" TITLE="3.1"><U>Dennis G. Zill (Ed. 6). Ejercicio 3.1</U></A></div> <div> <A HREF="id280.htm" TARGET="_top" TITLE="2.10"><U>G. F. Simmons. Problemas 2.10</U></A></div> <bR> <div>  <script async src="https://pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:970px;height:250px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="8553279920"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <bR> <bR> </td> <td valign="top" width=105 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <A HREF="https://www.youtube.com/user/MatematicaAplicadas" TARGET="_top" TITLE="https://www.youtube.com/user/MatematicaA"><U><IMG SRC="154c64580.gif" border=0 width="100" height="600" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <bR> <div> <TABLE BORDER="2" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="183" BORDERCOLORLIGHT="#006600" BORDERCOLORDARK="#339933" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 21 WIDTH="171"><div> <A HREF="id225_m.htm#introducci_n" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700dc11111100.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Introducción</U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 35 WIDTH="171"><div> <A HREF="id225_m.htm#factor_integrante" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700dc11111100.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Método del factor integrante</U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 18 WIDTH="171"><div> <A HREF="id225_m.htm#procedimiento" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700dc11111100.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Procedimiento</U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 18 ><NOBR><div> <A HREF="id225_m.htm#ejemplo_ilustrativo_1" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700dc11111100.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Ejemplo ilustrativo</U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 71 WIDTH="171"><div> <A HREF="id225_m.htm#_ejercicios_resueltos_sobre_ecuaciones" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700dc11111100.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Ejercicios resueltos de ecuaciones lineales de primer orden</U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 53 WIDTH="171"><div> <A HREF="id225_m.htm#probemas_de_aplicación_de_las" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Ecuaciones lineales de primer orden"><U><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700dc11111100.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Aplicaciones de las ecuaciones lineales de primer orden</U></A></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <bR> </td> </tr></table></body>