"Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera"
B o y c e   y   D i P r i m a


Capítulo 1: Introducción

Problemas 1.1: "Clasificación de las ecuaciones diferenciales"
En cada uno de los problemas 1 a 6, determine el orden de la ecuación diferencial dada; diga también si la ecuación es lineal o no lineal.
En cada uno de los problemas 7 a 14, verifique la función o funciones que se dan son una solución de la ecuación diferencial.
En cada uno de los problemas 15 a 18, determine los valores de r para los que la ecuación diferencial dada tiene soluciones de la forma  
MathType 5.0 Equation
En cada uno de los problemas 19 y 20, determine los valores de r para los que la ecuación diferencial dada tiene soluciones de la forma
MathType 5.0 Equation
En cada uno de los problemas 21 a 26, determine el orden de la ecuación diferencial parcial dada; diga también si la ecuación diferencial es lineal o no lineal. Las derivadas parciales se denotan por medio de subíndices.
En cada uno de los problemas 27 a 32, verifique que la  función o funciones dadas son una solución de la ecuación diferencial parcial correspondiente.
En cada uno de los problemas 33 a 40, use una computadora para hacer un esquema del campo direccional de la ecuación diferencial dada. Con base en el campo direccional, determine el comportamiento de y cuando
MathType 5.0 Equation

Capítulo 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden

Problemas 2.1: "Ecuaciones diferenciales de primer orden: ecuaciones lineales"
En cada uno de los problemas 1 a 8, encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada.
En cada uno de los problemas 9 a 16, encuentre la solución del problema con valor inicial.
En cada uno de los problemas 17 a 20, use una computadora para graficar el campo direccional. Obtenga una conclusión acerca del comportamiento de las soluciones cuando x tiende al infinito. Para comprobar la conclusión a la que llegó, resuelva la ecuación diferencial y después tome el límite cuando x tiende al infinito.
En cada uno de los problemas 26 y 27, aplique el método del problema 25 para resolver la ecuación diferencial dada.

Problemas 2.2: "Ecuaciones diferenciales de primer orden: otras consideraciones de las ecuaciones lineales"
En cada uno de los problemas 1 a 4, halle la solución general de la ecuación diferencial dada.
En cada uno de los problemas 5 al 12, determine la solución del problema con valor inicial dado. Escriba el intervalo en que la solución es válida.
Cada una de las ecuaciones de los problemas del 13 al 16 tiene por lo menos un coeficiente discontinuo en  x = 0. Resuelva cada ecuación para  x > 0  y describa el comportamiento de la solución cuando x tiende a 0, para valores de la constante de integración. Trace varios miembros de la familia de curvas integrales.
En cada uno de los problemas 17 a 20, determine (sin resolver el problema) un intervalo en el que se tenga la certeza de que la solución del problema con valor inicial dado no existe.
Ecuaciones de Bernoulli.  Algunas veces es posible resolver una ecuación no lineal al realizar un cambio de la variable dependiente que la convierta en una ecuación lineal. La clase más importante de estas ecuaciones es de la forma
Documento Microsoft Office Word
Estas ecuaciones se conocen coo ecuaciones de Bernoulli, en honor a Jacob Bernoulli.
Los problemas 27 a 31 tratan de las ecuaciones de este tipo.

Problemas 2.3: "Ecuaciones separables"
En cada uno de los problemas 1 a 8, resuelva la ecuación diferencial dada.
Para cada uno de los problemas 9 a 16, encuentre la solución del problema con valor inicial dado en forma explícita y determine (por lo menos aproximadamente) el intervalo en que está definida.

Problemas 2.4: "Diferencia entre las ecuaciones lineales y las no lineales"
En cada uno de los problemas 1 a 8, dé la región del plano xy en la que se satisfacen las hipótesis del teorema 2.4.1; por tanto, existe una solución única que pasa por cada punto inicial dado en esta región.

Problemas 2.5: "Aplicaciones de las ecuaciones lineales de primer orden"

Problemas 2.10: "Problemas diversos y aplicaciones"

Capítulo 3: Ecuaciones lineales de segundo orden

Problemas 3.1: "Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes"
En cada uno de los problemas 1 a 8, halle la solución general de la ecuación diferencial dada.
Documento Microsoft Office Word
Problemas 3.2: "Soluciones fundamentales de las ecuaciones lineales homogéneas"
En cada uno de los problemas 1 a 6, encuentre el wronskiano del par dado de funciones.
En cada uno de los problemas 7 a 12, determine el mayor intervalo en el que se tiene la certeza de que el problema con valor inicial dado posee una solución única por lo menos dos veces diferenciable:

Capítulo 7: Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Problemas 7.2: "Repaso de matrices"


Capítulo 8: Métodos numéricos

Problemas 8.1: "Método de Euler o de la recta tangente"
En muchos de los problemas de este capítulo se requiere efectuar cálculos numéricos bastante extensos. La cantidad de cálculos razonable para el lector depende mucho del tipo de computo con que cuente. Algunos pasos de los cálculos solicitados pueden llevarse a cabo en casi cualquier calculadora de bolsillo e incluso a mano, si es necesario. Para hacer más es aconsejable que cuente con una calculadora programable, aunque para algunos problemas puede ser necesaria por lo menos una microcomputadora.
Tenga presente también que los resultados numéricos pueden variar en alguna medida, dependiendo de la forma en que esté contenido el programa y de la manera en que la computadora ejecuta los pasos aritméticos, redondeos, etc. Variaciones menores en la última la última cifra decimal pueden deberse a esas causas y no necesariamente indican que sucede algo erróneo. En la mayoría de los casos, las respuestas que se dan al final del libro registra hasta seis dígitos, aunque en los cálculos intermedios se conservaran más dígitos.
En los problemas 1 y 2:
a)  Encuentre valores aproximados de la solución del problema dado con valor inicial. en
  t = 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 al aplicar el método de Euler con h = 0.1.
b)  Repetir el incido a) con h = 0.05. Compare los resultados con los del inciso a).
c)  Repita el inciso a) con h = 0.025. Compare los resultados con los del inciso a) y b).
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      Compare estos valores con los resultados de los incisos a), b) y c).





Por: Juan Carlos Beltrán Beltrán


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